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$\chi^2$分布, t分布, F分布

$\chi^2$分布とは:

標準正規分布に従う標本データの2乗和が従う確率分布である。その和の数が自由度$k$と定義されている。
自由度$k$の$\chi^2$分布は、期待値は$k$、分散は$2k$となる。
$k=2$で期待値2の指数分布に一致する。




$t$分布とは:

$\chi^2$分布は標本データを正規化させる必要があるが、その際に母集団分布の平均と分散を知る必要があるが、通常、それは知ることができない。このとき、標本数が少ない場合に$\chi^2$分布は知識を与えない。代替として、$t$統計量を定義し、$t$分布を導入する。

$t=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{s^2/n}}$

上式は次のように変形できる。

$t=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}/\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}/(n-1)}$

分子$\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}$は標準正規分布に従い、分母の$\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}}$は自由度$n-1$の$\chi^2$分布に従うことから、$t$統計量を次のように定義することができる。

$t=\frac{Z}{\sqrt{Y/k}}$

但し、
$Z\sim N(0,1)$
$Y\sim \chi^2(k)$

$\frac{Z}{\sqrt{Y/k}}$を$t$分布と呼ぶ。




$F$分布とは:
大きさ$n$の標本における標本分散$s^2$は、$\sigma^2$により標準化をすれば、自由度$n-1$の$\chi^2$分布に従う。
$\frac{s^2}{(n-1)\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$
$U$、$V$をそれぞれ自由度$k_1$、$k_2$の$\chi^2$分布に従う確率変数であるとする。フィッシャーの分散比を
$F=\frac{U/k_1}{V/k_2}$
と定義すると、この$F$が従う確率分布は自由度$k_1, k_2$の$F$分布と呼ばれる分布となる。
標準化された2標本の分散比$\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\cdot \frac{s_1^2}{s_2^2}$は、$F$分布に従う。




$\chi^2$分布

chi2plot04Jul2013-mini.png

m1 <- 0
s1 <- 1
data <- rnorm(100000,mean=m1, sd=s1)
data2 <- (data-m1)^2
plotx <- hist(data2,breaks=seq(0,50,0.05))[[1]]
plotx <- plotx[c(2:length(plotx))]
ploty1 <- hist(data2,breaks=seq(0,50,0.05))[[2]]/100000

data <- rnorm(100000,mean=m1, sd=s1)
data3 <- (data-m1)^2
data2 <- data2 + data3
ploty2 <- hist(data2,breaks=seq(0,50,0.05))[[2]]/100000

data <- rnorm(100000,mean=m1, sd=s1)
data3 <- (data-m1)^2
data2 <- data2 + data3
ploty3 <- hist(data2,breaks=seq(0,50,0.05))[[2]]/100000

data <- rnorm(100000,mean=m1, sd=s1)
data3 <- (data-m1)^2
data2 <- data2 + data3
ploty4 <- hist(data2,breaks=seq(0,50,0.05))[[2]]/100000

data <- rnorm(100000,mean=m1, sd=s1)
data3 <- (data-m1)^2
data2 <- data2 + data3
ploty5 <- hist(data2,breaks=seq(0,50,0.05))[[2]]/100000

data <- rnorm(100000,mean=m1, sd=s1)
data3 <- (data-m1)^2
data2 <- data2 + data3
ploty6 <- hist(data2,breaks=seq(0,50,0.05))[[2]]/100000

mycol <- rainbow(6)

pdf("chi2plot04Jul2013.pdf",height=5.5,width=6,pointsize=14)
plot(plotx,ploty1,pch=20,xlim=c(0,20),ylim=c(0,1500/100000),col=mycol[1],
cex=0.5,xlab=expression(paste(chi^{2})),ylab="frequency")
par(new=T)
plot(plotx,ploty2,pch=20,xlim=c(0,20),ylim=c(0,1500/100000),col=mycol[2],
cex=0.5,xlab="",ylab="")
par(new=T)
plot(plotx,ploty3,pch=20,xlim=c(0,20),ylim=c(0,1500/100000),col=mycol[3],
cex=0.5,xlab="",ylab="")
par(new=T)
plot(plotx,ploty4,pch=20,xlim=c(0,20),ylim=c(0,1500/100000),col=mycol[4],
cex=0.5,xlab="",ylab="")
par(new=T)
plot(plotx,ploty5,pch=20,xlim=c(0,20),ylim=c(0,1500/100000),col=mycol[5],
cex=0.5,xlab="",ylab="")
par(new=T)
plot(plotx,ploty6,pch=20,xlim=c(0,20),ylim=c(0,1500/100000),col=mycol[6],
cex=0.5,xlab="",ylab="")
legend(16.5,0.015,c("k=1","k=2","k=3","k=4","k=5","k=6"),pch=20,col=mycol)
dev.off()
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意匠登録の要件

意匠法 第3条

工業上利用することができる意匠の創作をした者は、次に掲げる意匠を除き、その意匠について意匠登録を受けることができる。
一 意匠登録出願前に日本国内又は外国において公然知られた意匠
二 意匠登録出願前に日本国内又は外国において、頒布された刊行物に記載された意匠又は電気通信回線を通じて公衆に利用可能となつた意匠
三 前二号に掲げる意匠に類似する意匠


意匠登録出願前にその意匠の属する分野における通常の知識を有する者が日本国内又は外国において公然知られた形状、模様若しくは色彩又はこれらの結合に基づいて容易に意匠の創作をすることができたときは、その意匠(前項各号に掲げるものを除く。)については、前項の規定にかかわらず、意匠登録を受けることができない。


意匠法 第3条の2

意匠登録出願に係る意匠が、当該意匠登録出願の日前の他の意匠登録出願であつて当該意匠登録出願後に第二十条第三項又は第六十六条第三項の規定により意匠広報に掲載されたもの(以下この条において「先の意匠登録出願」という。)の願書の記載及び願書に添付した図面、写真、ひな形又は見本に現された意匠の一部と同一又は類似であるときは、その意匠については、前条第一項の規定にかかわらず、意匠登録を受けることができない。ただし、当該意匠登録出願の出願人と先の意匠登録出願の出願人とが同一の者であつて、第二十条第三項の規定により先の意匠登録出願が掲載された意匠広報(同条第四項の規定により同条第三項第四号に掲げる事項が掲載されたものを除く。)の発行の日前に当該意匠登録出願があつたときは、この限りでない。


参考:特許法 第29条, 特許法 第29条の2
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